Da ich Geometrierätsel liebe hier noch eins aus dem Buch Die magischen Vierecke des Abul Wafa: Rätsel und Knobeleien aus 1001 Nacht S.18
von Heinrich Hemme.
In folgender Figur ist die Größe der blauen Fläche im Verhältnis zur Kreisfläche gesucht. Die Fläche wird gebildet durch eine Seite eines einbeschriebenen Dreiecks zwei Kreisbögen und einer Seite eines in demselben Kreis einbeschriebenen Sechsecks.
Hinweis
Hilfreich ist es sich zu überlegen wie das Flächenverhältnis von Sechseck und Dreieck und der übrigen Flächen zueinander ist.
Lösung
Erstaunlicherweise kommt die Lösung kommt ganz ohne den Einsatz von Flächenformeln für Kreis oder Kreisegmenten und ohne den Einsatz von
aus!
Während das Sechseck vom Kreis sechs gleiche Segmente übrig lässt , schneidet das Dreieck entsprechend drei Teile ab. Es gilt:
Die gesuchte Fläche ist nun gerade:
durch Umformen und Einsetzen in die Gleichungen (1) und (2) ergibt sich:
Wie man in der Zeichnung im Hinweis sehen kann, nimmt das Sechseck die doppelte Fläche des Dreiecks ein. Es gilt:
Durch Einsetzen und Umformen in (3) erhält man:
und vereinfacht:
Die gesuchte Fläche beträgt also ein Sechstel der Kreisfläche.
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